Tercer Juego

Problemas para 1º y 2º de Secundaria (12 – 14 años)

031401-Representación olímpica

La representación olímpica de un país puede desfilar de tres en tres y queda por delante el que lleva la bandera. Lo mismo pasa si desfilan de cuatro en cuatro o si desfilan de cinco en cinco. ¿Cuántas personas la componen?

La representación de otro país intenta lo mismo, pero ahora de tres en tres quedan dos sueltos, de cuatro en cuatro les sobran tres y de cinco en cinco les sobran cuatro. ¿Cuántos miembros la componen?

La representación española tiene menos suerte. De tres en tres sobran dos, de cuatro en cuatro sobran tres y de cinco en cinco sobran tres, pero el número de atletas es mayor que el de los otros dos países. ¿Cuántos son?

(II O.M. Castilla-La Mancha. 2001)


Ayuda

Solución

031402-El presupuesto

Un grupo de amigos piensan realizar un viaje de 5.000 km. En su presupuesto tienen incluida una cierta cantidad destinada a gastar en gasolina. Afortunadamente, el precio de la gasolina baja unos días antes de realizar el viaje, lo cual les va a permitir ahorrar 0´4 pts por km, gracias a lo cual podrán recorrer 250 km más de los previstos.

¿A cuánto ascendió, su presupuesto para gasolina?

(FEM MATEMATIQUES. Cataluña. 1997)


Ayuda

Solución

031403-El cubo de Ramiro

El padre de Ramiro, que es carpintero, hizo un cubo de madera y lo pintó de verde por todas sus caras. Al cabo de unos días como le pareció que era muy grande para utilizarlo de dado decidió cortarlo en 27 partes iguales para tener dados o cubos más pequeños.

Clasifica estos "cubiños" según el número de caras pintadas.

(I O.M. Galega. 2001)


Ayuda

Solución

031404-Tres parejas

Tres parejas de novios deciden pasar la tarde en la Sierra de Huelva; tras preparar la merienda, emprenden un viaje paralelo a uno de los márgenes del río Odiel y llegan a un paraje encantador para quedarse. Para acceder a él deben atravesar el río: el bote en el que han de hacerlo sólo puede transportar a dos personas a la vez.

Se pregunta cómo pasarán seis personas, de manera que ninguna mujer quede en compañía de uno o dos hombres si no está presente su novio.

(I O.M. Nacional. Pamplona. 1990)


Ayuda

Solución

031405-Entre círculos

Calcula el área de la región comprendida entre tres círculos iguales, de radio 5 cm, que se tocan entre si como en la figura.


(VII O.M. Fase Final. Comunidad de Madrid. 1999)


Ayuda

Solución

031406-La edad de Diofanto

Diofanto (S. IV dc) fue uno de los matemáticos que más fama dio a Alejandría. Un relato griego narra de forma concisa su vida. Fue muchacho durante 1/6 de su vida, durante 1/12 se dedicó a viajar, se casó 1/7 después, tuvo un hijo 5 años más tarde, que vivió la mitad de la edad de su padre, el cual murió, 4 años después.

¿Cuántos años vivió Diofanto?.

(IX O.M. Thales. Andalucía. 1998)


Ayuda

Solución

031407-Buscando un radio

ABC es un triángulo equilátero y BCDE es un cuadrado cuyo lado mide 2 cm. Si la circunferencia de radio r pasa por los puntos A, D y E como se muestra en la figura, halla justificadamente el valor de r.


(IX O.M. Alicante. 2000)


Ayuda

Solución

031408-¿Cuándo saldrá de la cárcel?

Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente, y el preso le había caído bien.

Preso: Vamos, ¿no puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar?

Carcelero: ¿Cuántos años tienes?

Preso: Veinticinco.

Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste?

Preso: Hoy es mi cumpleaños.

Carcelero: Increíble. ¡También es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás.

¿Cuánto tiempo dura la condena del preso?

(V O.M. Regional. Cantabria. 2001)


Ayuda

Solución

031409-Color del sombrero

En el dibujo, hay 4 hombres enterrados hasta el cuello. No se pueden mover, por lo tanto sólo ven lo que tienen enfrente (D puede ver B y C). Entre el hombre A y el B hay una pared opaca (no ven nada).


Saben que 2 de ellos tienen el sombrero negro y otros 2 lo tienen blanco. No saben de qué color es el sombrero que ellos mismos poseen. Para no ser fusilados, uno de ellos tiene que decir al verdugo cuál es el color de su sombrero. Si se equivoca, todos serán fusilados, no están autorizados ni a hablar ni a darse la vuelta, y tienen 10 minutos para encontrar la solución de lo contrario todo se acaba...

Al cabo de un minuto, ¿cuál de ellos llama al verdugo? ¿Por qué está seguro del color de su sombrero?.

(I O.M. del Baix Binalopó. Alicante. 2001)


Ayuda

Solución

031410-Anuncios de carretera

Carlos y Ana viajaban en su automóvil a velocidad prácticamente constante. ¿Te has dado cuenta- le dijo Ana a Carlos- de que los anuncios de la cerveza parecen estar regularmente espaciados a lo largo de la carretera?. Me pregunto a cuanta distancia estarán unos de otros.

Ana echó un vistazo al reloj del coche y contó el número de anuncios que rebasaban en un minuto. ¡Que raro, exclamó! Si se multiplica ese número por diez se obtiene exactamente nuestra velocidad en Km/h.

Admitiendo que la velocidad del coche sea constante, que los anuncios estén linealmente espaciados entre si y que al empezar y terminar de contar el minuto el coche se encontraba entre dos anuncios, ¿qué distancia les separa?

(VIII O.M. Asturiana. Semifinal. 2001)


Ayuda

Solución

031411-Misiones

En la Agencia de Investigaciones MIA, (Matemáticas Investigadas y Aclaradas), han de resolver cierto número de misiones, pero disponemos de un número de agentes tal que: si encargamos una misión a cada agente, sobran "x" misiones; pero si damos "x" misiones a cada agente, se quedan "x" agentes sin misión.

Como los agentes y misiones suman menos de 15, ¿sabrías decir cuántos agentes y misiones son?

(II O.M. Nacional. Canarias. 1991)


Ayuda

Solución

031412-El producto

Calcula el producto L x H sabiendo que:

L = a + b + c  H = d + c = f + g

siendo a, b, c, d, f y g números naturales y que:

b x f = 91 a x d = 18 c x d = 16 b x g = 39

(III O.M. Nacional. Huelva. 1992)


Ayuda

Solución

031413-La cinta y el carrete

Sobre un carrete vacío se enrolla firmemente una cinta de 25 metros de largo y 0,1 mm de espesor, dando así, un rodillo de 10 cm de diámetro.

¿Cuál es el diámetro del carrete original?

(IV O.M. Nacional. Andorra. 1993)


Ayuda

Solución

031414-La sandía

Una sandía pesó 10 kg de los cuales el 99 % es agua. Después de cierto tiempo al sol, se evaporó parte del agua, siendo ahora el porcentaje de agua del 98 %.

¿Cuánto pesa ahora la sandía?

(V O.M. Nacional. Burgos. 1994)


Ayuda

Solución

031415-La reina cautiva

Una reina cautiva, con su hijo y su hija, fueron encerrados en lo alto de una torre. En la parte exterior de la ventana había una polea de la que pendía una soga con dos canastas atadas, una a cada extremo; ambas canastas de igual peso. Los cautivos lograron escapar sanos y salvos usando una pesa que había en la habitación. Habría sido peligroso para cualquiera de los tres descender pesando más de 15 kg que el contenido de la canasta inferior, porque habría bajado demasiado rápido; y se las ingeniaron para no pesar tampoco menos de esa diferencia de 15 kg. La canasta que bajaba hacía subir, naturalmente, a la otra.

¿Cómo lo consiguieron?

La reina pesaba 75 kg, la hija 45, el hijo 30 y la pesa 15 kg

(VI O.M. Nacional. Castellón y Alicante. 1995)


Ayuda

Solución

031416-Diferencia de tamaño

En la novela Los viajes de Gulliver de Jonathan Swift (1726) se narra que Gulliver, el protagonista, viaja por varios países imaginarios, uno de ellos es Liliput, cuyos habitantes son todos enanos y don-de todo es reducido de tamaño. Encontrándose en este último país sabemos que Gulliver es semejan-te a los liliputienses, siendo 12 veces más alto que ellos.

¿Cuántos colchones de liliputienses deben coserse entre sí para hacerle uno a Gulliver, de forma que pueda dormir tan cómodamente como ellos?

(VII O.M. Nacional. Cáceres. 1996)


Ayuda

Solución

031417-La escalera mecánica

Juan y Luís van de compras a El Corte Inglés, tienen un poco de prisa y se suben en una escalera mecánica. Juan es el triple de rápido que su amigo subiendo (ambos suben de peldaño en peldaño). Al terminar de subir, Juan contó 75 escalones y Luís 50 escalones.

Con estos datos calcular los peldaños "visibles" de la escalera.

(VIII O.M. Nacional. Asturias (Gijón). 1997)


Ayuda

Solución

031418-Cumpleaños

Andrés, que es un niño inquieto, observa que cuando cumple 14 años, su padre cumple 41, es decir, el número 14 con las cifras invertidas.

Si Andrés y su padre vivieran cien años, ¿podrías decir las veces que a lo largo de su vida volverá a ocurrir este fenómeno?

(IX O.M. Nacional. Almería. 1998)


Ayuda

Solución

031419-Cuadrado

En un cuadrado ABCD de lado unidad se traza AC. Se une el vértice D con el punto medio, M, del lado BC.


Calcular la razón entre las superficies del cuadrilátero ABMP y el triángulo CDP

(X O.M. Nacional. Albacete. 1999)


Ayuda

Solución

031420-Cruce de trenes

Dos trenes que circulan por vías distintas, parten en el mismo momento y van uno hacia el otro. Uno de ellos se desplaza con velocidad constante de 96 km/h, el otro se desplaza con velocidad constante de 80 km/h y se cruzan cuando han transcurrido 7 min. y 30 seg.

¿Qué distancia, en Km, separa las dos estaciones?

(XI O.M. Nacional. Cataluña. 2000)


Ayuda

Solución

031421-Contando rectángulos

En las siguientes figuras hay tres, nueve y dieciocho rectángulos, respectivamente:


¿Cuántos rectángulos hay en esta otra figura?:


Encuentra un procedimiento para poder contar el número de rectángulos que habría en las figuras

resultantes, con seis, siete,... columnas.

( XII O.M. Nacional. Cantabria. 2001)


Ayuda

Solución

031422-División con suerte

¿Cuánto suman los primeros 100 dígitos que aparecen después de la coma al hacer 1/13? (1 dividido entre 13)

( XIII O.M. Primera Fase. Albacete. 2002)


Ayuda

Solución

031423-Melones

Un agricultor lleva melones en el maletero de su coche. Encuentra a tres amigos y les da, al primero, la mitad de los melones más dos; al segundo, la mitad de los que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de los sobrantes más dos. Aún sobra un melón.

¿Cuántos llevaba al principio?

( XIII O.M. Primera Fase. Albacete. 2002)


Ayuda

Solución

031424-Una familia gatuna

Las diferentes ramas de la familia Felinos se han reunido en una fiesta familiar. Jugando con unas balanzas han visto que:

- 4 gatos y 3 gatitos pesan 15 kg

- 3 gatos y 4 gatitos pesan 13 kg

¿Cuánto pesa cada gato y cada gatito por separado?

( XIII O.M. Primera Fase. Albacete. 2002)


Ayuda

Solución

031425-Geografía planetaria

Lulumba es un planeta con un mar inmenso y un solo continente compuesto por siete naciones que son: Alcundia, Bolimia, Concolia, Desdelua, Estolia, Firnea y Galania.

Dos de estas naciones no tienen mar

• Firnea no es vecina de Galania ni de Concolia

• Concolia no es vecina de Desdelua ni de Alcundia

• Alcundia no es vecina de Estolia ni Galania

• Bolimia tiene al menos dos playas

• Desdelua y Estolia tienen la misma cantidad de fronteras

¿De quién es vecina Bolimia?

( XIII O.M. Primera Fase. Albacete. 2002)


Ayuda

Solución

031426-Número secreto

Coloca las cifras del 1 al 6, empezando por la izquierda, de manera que el número formado por la 1ª y 2ª cifras es múltiplo de 2; el formado por la 2ª y 3ª es múltiplo de 3, y así sucesivamente, ..., el formado por la 5ª y la 6ª es múltiplo de 6.


¡Ah, se me olvidaba! El número secreto empieza por 1.

( X O.M. Fase Autonómica. Extremadura. 2001)


Ayuda

Solución

031427-Cuatro dígitos

Buscar un número de cuatro dígitos tal que si ponemos la coma entre las centenas y las decenas, nos da un número que es media aritmética de los enteros que quedan a ambos lados de la coma.

( IX O.M. León. 2001)


Ayuda

Solución

031428-Zona no sombreada

Calcula el área de la zona no sombreada de la figura.


( IX O.M. Fase Final. Valladolid. 2001)


Ayuda

Solución

031429-Gastronomía medieval

Luis ha escrito un libro sobre "Gastronomía Medieval en la ciudad de Zamora". Ha numerado las páginas del libro desde la primera hasta la última y ha utilizado en total 360 dígitos (los dígitos son 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9).

¿Cuántas páginas tiene el libro?

( IX O.M. Fase Local. Zamora. 2001)


Ayuda

Solución

031430-Cinco dígitos

Irene usó la calculadora para explorar este problema:

Escogió los cinco dígitos siguientes 1, 2, 3, 4 y 5. Los usó todos para formar un número de tres dígitos y otro de dos, de forma que su producto resultase el mayor posible. Después buscó la combinación que diera el menor producto.

Averigua esos productos.

( I O.M. 3º Ciclo E.P. Villarrobledo (Albacete). 2002)


Ayuda

Solución

Tercer Juego

Problemas para 3º y 4º de Secundaria (14 – 16 años)


031601-La servilleta

Una servilleta cuadrada de 15 cm de lado, tiene dibujados cuatro círculos A, B, C y D iguales y tangentes entre sí y tangentes a los lados (según la figura adjunta). Si al azar, una gota de aceite ha caído sobre ella, ¿con qué probabilidad caerá, dentro de alguno de ellos?.


(II O.M. Regional. Castilla-La Mancha. 2001)


Ayuda

Solución

031602-Los elefantes

En fila India están situados 15 elefantes. Sus pesos están expresados por números enteros de kilogramos. El peso de cada elefante (salvo del que ocupa la primera posición) más el doble del que está delante de él es exactamente de 15 Tm.

Determina el peso de cada elefante.

(XII O.M. Fase Autonómica. Comunitat Valenciana. 2001)


Ayuda

Solución

031603-La plaza

Alrededor de una plaza existen casas. Joao y Pedro dan una vuelta a la plaza en el mismo sentido y cuentan las casas. Como no comienzan a contar en la misma casa, la quinta casa de Joao es la decimosegunda de Pedro y la quinta casa de Pedro es la trigésima de Joao.

¿Cuántas casas existen alrededor de la plaza?

( XIX O.M. Portuguesa. 2000)


Ayuda

Solución

031604-Fácil y difícil

Ariel, Bernardo y Claudio resuelven cada uno exactamente 60 problemas de una lista de 100. Todos los problemas fueron resueltos por al menos uno de los tres.

Diremos que un problema es fácil si los tres lo resolvieron y que es difícil si sólo uno de los tres lo resolvió.

Si d es la cantidad de problemas difíciles y f es la cantidad de problemas fáciles, hallar d-f.

( II O.M. del Mercosur. Torneo de Frontera. Argentina. 1997)


Ayuda

Solución

031605-Chica v RENFE

Una chica va todos los días al trabajo en bicicleta por un camino paralelo a la vía del tren. Lleva una velocidad de 6 Km/h y todos los días coincide en un cruce con un tren que lleva su mismo sentido. Cierto día se durmió y se retrasó 50 minutos con lo que el tren la alcanzó a 6 Km del citado cruce.

¿Sabrías calcular el tiempo que tarda el tren en llegar a ese cruce después de sobrepasar a la ciclista?

( VIII O.M. Asturiana. Fase Final. 2001)


Ayuda

Solución

031606-El faro de Finisterre

El encargado del faro de Finisterre ha recibido la comunicación de que va a haber un corte del suministro eléctrico y debe hacer funcionar el faro con ayuda del generador alimentado con gasóleo. Ese generador consume 6 litros de gasóleo cada hora y medio litro más cada vez que hay que ponerlo en marcha (inicialmente, está parado). En las 10 horas exactas que durará la noche, el faro no puede dejar de funcionar durante más de 10 minutos seguidos. Y cuando funciona tiene que hacerlo durante al menos 15 minutos seguidos.

¿Cuántos litros de gasóleo necesita, como mínimo, para cumplir con las normas de funcionamiento del faro?

( XXXVII O.M. Española. Fase Local. 2001)


Ayuda

Solución

031607-Enteros

Halle todos los enteros positivos que son menores que 1.000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.

( XIV O.I.M. La Habana. Cuba. 1999)


Ayuda

Solución

031608-Las velas

Ayer por la noche, mientras estudiaba, se fue la luz. Inmediatamente encendí dos velas y seguí trabajando hasta que arreglaron la avería. Al día siguiente quise averiguar cuánto duró el apagón, pero no sabía cuando empezó, ni cuando terminó. Solamente me acuerdo que la primera vela estaba previsto que durara cinco horas y la segunda cuatro horas.

¿Cuánto duró el apagón si la primera vela se había quedado cuatro veces más larga que la segunda?.

(II O.M. Fase Final. Ciudad Real. 2001)


Ayuda

Solución

031609-Pintores

Una cuadrilla de pintores tenía que pintar dos paredes, una de doble superficie que la otra. Toda la cuadrilla estuvo pintando en la pared grande durante medio día. Por la tarde la mitad de la cuadrilla pintó en la pared pequeña y la otra mitad en la grande. Al finalizar el día sólo les quedó un poco por pintar en la pared pequeña, para lo cual fue necesario que pintara un solo pintor el día siguiente completo.

¿Cuántas personas componían la cuadrilla?

(Nota: la jornada laboral está compuesta por 4 horas antes de mediodía y 4 horas por la tarde. Todos los pintores rinden el mismo trabajo y de forma uniforme.)

( IX O.M. Nacional. Almería. 1998)


Ayuda

Solución

031610-Triángulos equiláteros

Tenemos un triángulo equilátero ABC de lado 6 centímetros. Queremos inscribir en él un nuevo triángulo equilátero DEF de modo que DE sea perpendicular a AC, EF sea perpendicular a BC y FD sea perpendicular a BA.

Hallar la longitud del lado de este triángulo DEF.

(XII O.M. Fase Final. Albacete. 2001)


Ayuda

Solución

031611-Tres condiciones

Hallar el menor número natural que satisface las siguientes tres condiciones simultáneamente: tiene resto 24 en la división por 57; tiene resto 73 en la división por 106 y tiene resto 126 en la división por 159.

(XVIII O.M. Argentina. 2001)


Ayuda

Solución

031612-La orilla del río

En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta, y a 500 metros río arriba, se está construyendo una fábrica. Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta y la fábrica, que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta a 9 € cada metro y que el tendido de cables sobre el agua cuesta a 15 € cada metro, ¿cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica?.

(XXXVI O.M. Española. 2000)


Ayuda

Solución

031613-La matrícula

El número de la matricula del coche que es un cuadrado perfecto, tiene cuatro cifras, siendo iguales las dos primeras y también las dos últimas.

¿Cuál es el número?

(IX O.M. Albacete. 1998)


Ayuda

Solución


031614-Coleccionistas

Agustín, Bruno, Carlos, Diego, Ezequiel y Federico son coleccionistas de cuadros y dos de ellos son hermanos. Un día fueron juntos a una exposición y compraron de la siguiente manera:

• Agustín compró 1 cuadro, Bruno compró 2, Carlos 3, Diego 4, Ezequiel 5 y Federico 6.

• Los dos hermanos pagaron igual cantidad de dinero por cada uno de los cuadros que compraron.

• Los demás del grupo pagaron el doble por cada cuadro de los que pagaron los hermanos.

• En total pagaron 100.000 €.

• El precio de cada cuadro era un número entero de euros.

¿Quiénes son hermanos?

(VII O.M. Certamen Regional. Ñandú. 1998)


Ayuda

Solución

031615-El orador

Un orador habló durante sesenta minutos a un auditorio lleno. El 20 % de la audiencia oyó todo el discurso y el 10 % se durmió durante todo el discurso. La mitad de los oyentes restantes oyó la tercera parte del discurso y la otra mitad de los oyentes restantes oyó las dos terceras partes del discurso.

¿Cuál es el número promedio de minutos del discurso que los miembros de la audiencia oyeron?

(XVII O.M. Colombiana. 1998)


Ayuda

Solución

031616-Muy perfecto

Hallar todos los cuadrados perfectos menores que 100.000 que son iguales a un cubo perfecto multiplicado por 3/2.

(XVIII O.M. Argentina. 2001)


Ayuda

Solución

031617-Leche manchada

Cuatro vasos, suficientemente grandes, contienen el mismo volumen de líquido. El primer vaso contiene café solo y los otros tres sólo tienen leche. Se vierte la cuarta parte del contenido del primer vaso en el segundo. Se hace la mezcla homogénea y, a continuación, se vierte la cuarta parte del contenido del segundo vaso en el tercero. Se hace la mezcla homogénea y se vierte la cuarta parte del contenido en el último vaso.

¿Cuál es la razón entre los volúmenes de café y leche en este cuarto vaso?

(XI O.M. Albacete. 2000)


Ayuda

Solución

031618-Planeta X31

En el planeta X31 hay sólo dos tipos de billetes. Sin embargo el sistema no es tan malo porque hay solamente quince precios enteros que no se pueden pagar exactamente (se paga de más y se recibe cambio). Si 18 es uno de esos precios que no se pueden pagar exactamente, halla el valor de cada tipo de billete.

(IV O.M. de Mayo. Argentina. 1998)


Ayuda

Solución

031619-La escalera

Un condenado queda en libertad cuando alcance el final de una escalera de 100 escalones. Pero no puede avanzar a su antojo, puesto que está obligado a subir un solo escalón cada día de los meses impares y a bajar un escalón cada día de los meses pares. Comienza el 1 de enero de 2001.

¿Qué día quedará en libertad?

(XXXVII O.M. Española. 2001)


Ayuda

Solución

031620-Trapecio isósceles

De un trapecio isósceles se sabe que sus diagonales son perpendiculares y su área es igual a 98.

Hallar la altura del trapecio

(XVIII O.M. Argentina. 2001)


Ayuda

Solución

031621-El modelo de la torre Eiffel

La torre Eiffel de París tiene 300 metros de altura y está construida enteramente de hierro; su peso total es de 8.000.000 de kg. Deseo encargar un modelo exacto de dicha torre, también de hierro y que pese sólo 1 kg.

¿Qué altura tendrá?

( XIII O.M. Primera Fase. Albacete. 2002)


Ayuda

Solución

031622-El factor 3

Sabemos que 100 factorial ( 100! ) es la cantidad que se obtiene del siguiente modo:

100! = 100 • 99 • 98 • ... • 3 • 2 • 1

Calcular el exponente de la potencia máxima de 3 que sea divisor de 100!

( XIII O.M. Primera Fase. Albacete. 2002)


Ayuda

Solución

031623-Un rombo curioso

En una circunferencia hemos inscrito un rectángulo y en él un rombo, tomando los puntos medios de los lados del rectángulo.


Si el diámetro del círculo es de 10 cm, ¿cuánto mide el perímetro del rombo?

( XIII O.M. Primera Fase. Albacete. 2002)


Ayuda

Solución

031624-Blanco, Rubio y Castaño

Tres personas, de apellidos Blanco, Rubio y Castaño, se conocen en una reunión.

Poco después de hacerse las presentaciones, la dama hace notar:

• "Es muy curioso que nuestros apellidos sean Blanco, Rubio y Castaño, y que nos hayamos reunido aquí tres personas con ese color de cabello".

• "Sí que lo es - dijo la persona que tenía el pelo rubio -, pero habrás observado que nadie tiene el color de pelo que corresponde a su apellido".

• "¡Es verdad!" - exclamó quien se apellidaba Blanco

Si la dama no tiene el pelo castaño, ¿de qué color es el cabello de Rubio?

( XIII O.M. Primera Fase. Albacete. 2002)


Ayuda

Solución

031625-Tres bolas

Para adjudicar un premio entre tres estudiantes se prepara una bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. Los tres van sacando, por orden, una bola que no devuelven. quien saque la bola blanca gana.

¿Quién lleva más ventaja: el primero, el segundo o el tercero?

( XIII O.M. Primera Fase. Albacete. 2002)


Ayuda

Solución

031626-Edades perfectas

Si se escribe hoy la edad de Alejandro y a continuación la edad de Carlos, se obtiene un número de cuatro cifras que es un cuadrado perfecto. Si se hiciera lo mismo dentro de 11 años, se tendría de nuevo un cuadrado perfecto de cuatro cifras.

Hallar las edades actuales de Alejandro y Carlos.

( XVIII O.M. Argentina. 2001)


Ayuda

Solución

031627-Círculos tangentes

Dos círculos son tangentes interiormente como muestra el dibujo.


Calcular el área comprendida entre ellos

( IX O.M. León. 2001)


Ayuda

Solución

031628-Tres atletas

Las tres atletas Lucía, María y Nadia corrieron 20 carreras y anotaron cada vez cuál llegó primera, cuál segunda y cuál tercera. Nunca hubo puestos empatados. La cantidad de veces que Lucía llegó antes que María es 12. La cantidad de veces que María llegó antes que Nadia es 11. La cantidad de veces que Nadia llegó antes que Lucía es 14. Se sabe además que ocurrieron todos los ordenamientos posibles de las tres atletas.

Determinar cuántas carreras ganó cada una de las atletas.

( XVIII O.M. Argentina. 2001)


Ayuda

Solución

031629-Zona sombreada

Calcula el área de la zona sombreada en la figura adjunta.


( IX O.M. Fase Final. Valladolid. 2001)


Ayuda

Solución

031630-El tractor y el camión

Un camión tarda en pasar a un tractor, una vez que lo alcanza, el doble de lo que tardan ambos en cruzarse cuando circulan en direcciones opuestas.

Si el tractor en ambas maniobras circula a una velocidad de 30 km/h, ¿A qué velocidad circula el camión?

(La velocidad del camión es la misma en ambas maniobras).

( IX O.M. Fase Local. Zamora. 2001)


Ayuda

Solución